في التوافقية ، تتمثل إحدى المهام الأكثر شيوعا في تحديد عدد التوليفات أو التباديل الممكنة لمجموعة معينة من العناصر. إحدى هذه المهام هي مسألة عدد المجموعات الممكنة التي يمكن أن تتكون من مجموعة معينة من العناصر.
دعونا نفكر في مهمة محددة: كم عدد المجموعات التي يمكنك تكوينها 5 أكواب, 4 الصحون و 3 ملاعق? لحل هذه المشكلة ، يمكننا استخدام مبدأ الضرب ، الذي ينص على أن العدد الإجمالي للمجموعات يساوي حاصل ضرب عدد الخيارات الممكنة لكل عنصر.
وبالتالي ، يمكن الحصول على عدد المجموعات الممكنة بضرب عدد الخيارات لكل عنصر. في هذه الحالة لدينا 5 أكواب و 4 صحون و 3 ملاعق. يمكن أن تحتوي كل مجموعة على كوب واحد وصحن واحد وملعقة واحدة ، لذلك لكل عنصر لدينا العدد التالي من الخيارات: 5 * 4 * 3 = 60.
وبالتالي ، يمكن صنع 60 مجموعة مختلفة من 5 أكواب و 4 صحون و 3 ملاعق.
ومع ذلك ، تجدر الإشارة إلى أننا في هذه المهمة لا نأخذ في الاعتبار القيود أو الشروط المحتملة التي يمكن أن تغير عدد المجموعات الممكنة. على سبيل المثال ، إذا احتجنا إلى اختيار نوع معين فقط من الأكواب أو الصحون أو الملاعق ، فسيكون عدد المجموعات الممكنة أقل بكثير.
- كم عدد المجموعات التي يمكنك تكوينها 5 أكواب, 4 الصحون و 3 ملاعق?
- التوافقية: المهمة الرئيسية
- نقوم بتحليل أنواع الكائنات في المهمة
- نحن نحل المشكلة باستخدام طريقة التوافقية
- العدد الإجمالي للمجموعات الممكنة
- سؤال وجواب
- كم عدد المجموعات التي يمكنك تكوينها 5 أكواب, 4 الصحون و 3 ملاعق?
- هل من الممكن استخدام عدد أقل من العناصر لعمل مجموعة?
- هل من الممكن لجعل مجموعات مع كمية مختلفة من كل بند?
- هل يمكن أن تكون هناك مجموعات تفتقر إلى عناصر معينة?
- هل من الممكن عمل مجموعات تكون فيها جميع العناصر متشابهة?
كم عدد المجموعات التي يمكنك تكوينها 5 أكواب, 4 الصحون و 3 ملاعق?
لحل هذه المشكلة التوافقية ، نستخدم مبدأ الضرب. لدينا 5 أكواب و 4 صحون و 3 ملاعق. يمكننا تحديد عدد معين من العناصر لكل جزء من المجموعة.
لنبدأ باختيار الكؤوس. يمكننا اختيار أي عدد من الكؤوس من 0 إلى 5. لكل عدد من اختيارات الكأس ، يمكننا اختيار الصحون. يمكننا الاختيار من 0 إلى 4 صحون لكل كوب محدد. أخيرا ، بعد اختيار الأكواب والصحون ، يمكننا اختيار الملاعق. يمكننا الاختيار من 0 إلى 3 ملاعق لكل مجموعة من الأكواب والصحون.
لتحديد عدد مجموعات التوليفات الممكنة ، نضرب عدد الخيارات الممكنة لكل نوع من الأشياء. وبالتالي ، نحصل على النتيجة التالية:
| عدد الخيارات الممكنة | أكواب | الصحون | الملاعق |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 5 | 4 | 3 |
| 2 | 5 * 4 | 4 * 3 | 3 * 2 |
| 3 | 5 * 4 * 3 | 4 * 3 * 2 | 3 * 2 * 1 |
| 4 | 5 * 4 * 3 * 2 | 4 * 3 * 2 * 1 | 3 * 2 * 1 |
| 5 | 5 * 4 * 3 * 2 * 1 | 4 * 3 * 2 * 1 | 3 * 2 * 1 |
الآن ، لكل عدد من اختيارات الكوب ، يمكننا مضاعفة عدد الاختيارات الممكنة لكل نوع من أنواع الأشياء. ثم يمكننا إضافة جميع النتائج التي تم الحصول عليها لجميع خيارات اختيار الكأس:
- عندما يتم اختيار 0 كوب: 1 مجموعة
- عندما يتم اختيار 1 كوب: 5 * 4 * 3 = 60 مجموعة
- عندما يتم اختيار 2 كوب: 5 * 4 * 3 * 4 * 3 * 2 = 720 مجموعات
- عندما يتم اختيار 3 أكواب: 5 * 4 * 3 * 2 * 4 * 3 * 2 = 2880 مجموعات
- عندما يتم اختيار 4 أكواب: 5 * 4 * 3 * 2 * 1 * 4 * 3 * 2 = 5760 مجموعات
- عندما يتم اختيار 5 أكواب: 5 * 4 * 3 * 2 * 1 * 4 * 3 * 2 * 3 * 2 * 1 = 51840 مجموعات
لذا ، فإن العدد الإجمالي للمجموعات المختلفة التي يمكن أن تتكون من 5 أكواب و 4 صحون و 3 ملاعق هو 1 + 60 + 720 + 2880 + 5760 + 51840 = 61261 مجموعات.
التوافقية: المهمة الرئيسية
تتمثل إحدى المهام الرئيسية للتركيبات في تحديد عدد التركيبات أو المتغيرات المختلفة التي يمكن إجراؤها من مجموعة معينة من العناصر. لحل مثل هذه المشاكل ، عادة ما يتم استخدام مبادئ التباديل والتركيبات.
لنأخذ مثالا. لنفترض أن لدينا 5 أكواب و 4 صحون و 3 ملاعق. السؤال: كم عدد المجموعات التي يمكن إجراؤها باستخدام كل هذه العناصر?
لحل هذه المشكلة ، يمكننا استخدام مبدأ المنتج. وفقا لهذا المبدأ ، لكل عنصر من المجموعة الأولى ، نختار عنصرا واحدا من المجموعة الثانية ، ثم لكل زوج من العناصر من المجموعتين الأوليين ، نختار عنصرا واحدا من المجموعة الثالثة ، إلخ.
في هذه المهمة ، علينا اختيار كوب واحد من أصل 5 ، وصحن واحد من أصل 4 وملعقة واحدة من أصل 3. عدد طرق اختيار الكوب والصحن والملعقة يساوي: 5 * 4 * 3 = 60.
وبالتالي ، يمكن صنع 60 مجموعة مختلفة من 5 أكواب و 4 صحون و 3 ملاعق.
نقوم بتحليل أنواع الكائنات في المهمة
في هذه المهمة ، يتم إعطاؤنا 5 أكواب و 4 صحون و 3 ملاعق. دعونا ننظر في كل عنصر على حدة:
- أكواب: هناك 5 أكواب ، أي لدينا 5 عناصر مختلفة من نفس النوع. في هذه المهمة ، لا يهم ترتيب الكؤوس ، لأنها كلها من نفس النوع.
- الصحون: هناك 4 صحون ، مما يعني أن لدينا 4 عناصر مختلفة من نفس النوع. ترتيب الصحون أيضا لا يهم.
- الملاعق: يتم إعطاء المشكلة 3 ملاعق ، مما يعني أن لدينا 3 عناصر مختلفة من نفس النوع. وبالمثل ، فإن ترتيب الملاعق لا يهم.
لذلك لدينا:
- 5 أكواب مختلفة
- 4 صحون مختلفة
- 3 ملاعق مختلفة
الآن يمكننا البدء في حساب عدد التوليفات الممكنة لهذه العناصر.
نحن نحل المشكلة باستخدام طريقة التوافقية
يتم إعطاء مشكلة عدد المجموعات التي يمكن أن تتكون من 5 أكواب و 4 صحون و 3 ملاعق. لحل هذه المشكلة ، نطبق طريقة التوافقية.
بادئ ذي بدء ، دعنا نحدد عدد الخيارات الممكنة لكل عنصر من العناصر:
- الكؤوس: 5
- الصحون: 4
- ملاعق: 3
بمعرفة عدد الخيارات لكل موضوع ، يمكننا تطبيق قاعدة المنتج لتحديد العدد الإجمالي للمجموعات الممكنة. تنص قاعدة المنتج على أنه إذا كان لدينا العديد من الأحداث المستقلة ، فإن العدد الإجمالي للنتائج المحتملة يساوي حاصل ضرب عدد نتائج كل حدث.
في هذه المهمة ، الأحداث هي اختيار كوب وصحن وملعقة. لذلك ، سيكون العدد الإجمالي للمجموعات الممكنة مساويا لمنتج عدد الخيارات لكل عنصر:
العدد الإجمالي للمجموعات الممكنة = 5 * 4 * 3 = 60
وبالتالي ، يمكنك عمل 60 مجموعة مختلفة من 5 أكواب و 4 صحون و 3 ملاعق.
العدد الإجمالي للمجموعات الممكنة
لحل هذه المشكلة ، يمكننا استخدام مبادئ اندماجية.
لدينا 5 أكواب و 4 صحون و 3 ملاعق. لإيجاد العدد الإجمالي للمجموعات الممكنة ، يمكننا مضاعفة عدد الخيارات لكل فئة عنصر.
يتم حساب عدد الخيارات الممكنة لكل فئة على النحو التالي:
- للأكواب: 5 خيارات
- للصحون: 4 خيارات
- للملاعق: 3 خيارات
وبالتالي ، فإن العدد الإجمالي للمجموعات الممكنة سيكون مساويا لمنتج عدد الخيارات لكل فئة:
| الفئة | عدد الخيارات |
|---|---|
| أكواب | 5 |
| الصحون | 4 |
| 3 ملاعق |
العدد الإجمالي للمجموعات الممكنة يساوي منتج عدد الخيارات لكل فئة:
5 * 4 * 3 = 60
وبالتالي ، يمكنك عمل 60 مجموعة مختلفة من 5 أكواب و 4 صحون و 3 ملاعق.
سؤال وجواب
كم عدد المجموعات التي يمكنك تكوينها 5 أكواب, 4 الصحون و 3 ملاعق?
باستخدام قاعدة الضرب ، يمكننا معرفة العدد الإجمالي للمجموعات بضرب عدد المتغيرات الممكنة لكل عنصر: 5 (أكواب) * 4 (صحون) * 3 (ملاعق) = 60. وبالتالي ، يمكن أن تتكون 60 مجموعة مختلفة من جميع العناصر.
هل من الممكن استخدام عدد أقل من العناصر لعمل مجموعة?
نعم ، من الممكن عمل مجموعات باستخدام عناصر أقل ، على سبيل المثال ، الأكواب والصحون فقط أو الأكواب والملاعق فقط. في هذه الحالة ، سيكون عدد المجموعات الممكنة أقل ، لكنه سيظل يعتمد على عدد العناصر المتاحة.
هل من الممكن لجعل مجموعات مع كمية مختلفة من كل بند?
نعم ، يمكنك عمل مجموعات بكمية مختلفة من كل عنصر. على سبيل المثال ، يمكنك اختيار 2 كوب ، 3 الصحون و 1 ملعقة ، وسوف يعتبر هذا مجموعة منفصلة. وبالتالي ، سيعتمد عدد المجموعات على مجموعات كميات مختلفة من العناصر التي يمكن تحديدها.
هل يمكن أن تكون هناك مجموعات تفتقر إلى عناصر معينة?
نعم ، قد تكون هناك مجموعات تفتقر إلى عناصر معينة. على سبيل المثال ، يمكنك عمل مجموعات بدون ملاعق أو بدون صحون. في هذه الحالة ، سيكون عدد المجموعات الممكنة أصغر ، حيث سينخفض عدد المجموعات.
هل من الممكن عمل مجموعات تكون فيها جميع العناصر متشابهة?
نعم ، من الممكن عمل مجموعات تكون فيها جميع العناصر متشابهة. على سبيل المثال ، يمكنك أن تأخذ 5 أكواب متطابقة و 4 صحون متطابقة و 3 ملاعق متطابقة. في هذه الحالة ، سيكون هناك خيار واحد فقط ، حيث لا توجد اختلافات أخرى.