هذه المقالة مخصصة لتحليل نظام المعادلات التي تتكون من معادلتين خطيتين. أي نظام المعادلات س + 4 ص = 1 و 2 س + 8 ص = 3 يعتبر. في كثير من الأحيان هناك حالات عندما يكون من الضروري إيجاد حل لنظام المعادلات ، ولهذا السبب بالتحديد ، تعد أنظمة المعادلات أحد الموضوعات الأساسية للجبر الخطي.
بادئ ذي بدء ، تجدر الإشارة إلى أن نظام المعادلات يمكن أن يكون له عدد مختلف من الحلول: من واحد إلى عدد لا نهائي. ومع ذلك ، سنركز في هذه المقالة بشكل خاص على نظام المعادلات قيد الدراسة ونحاول تحديد عدد الحلول التي لديها.
لتسهيل حل نظام المعادلات هذا ، يمكنك استخدام طريقة الاستبعاد أو طريقة الاستبدال. هذه الطرق تجعل من الممكن تقليل المشكلة إلى حل معادلة واحدة بمتغير واحد ، مما يبسط إلى حد كبير عملية دراسة نظام المعادلات.
نتيجة لتحليل نظام المعادلات هذا ، توصلنا إلى استنتاج مفاده أن له حلا فريدا. بتعبير أدق ، تحدد المعادلات خطوطا على مستوى تتقاطع عند نقطة واحدة. وبالتالي ، فإن قيم المتغيرات س و ص تلبية كلا المعادلات موجودة وفريدة من نوعها.
- عدد الحلول لنظام المعادلات
- مشكلة إيجاد الحلول
- نظرة عامة على نظام المعادلات
- الطريقة المحددة لحل النظام
- قاعدة كرامر لحل النظام
- خيارات لعدد من الحلول
- سؤال وجواب
- كيف يمكننا إيجاد حلول لنظام المعادلات س + 4ص = 1, 2س + 8ص = 3?
- هل يمكنك شرح كيفية تطبيق طريقة الاستبدال لإيجاد حلول لنظام المعادلات س + 4 ص = 1, 2س + 8 ص = 3?
- كيفية العثور على قيم المتغيرات س و ص باستخدام طريقة الاستبعاد في نظام المعادلات هذا س + 4 ص = 1, 2س + 8 ص = 3?
- ما هي قيم المتغيرات س و ص تلبية نظام المعادلات س + 4 ص = 1, 2س + 8 ص = 3?
- هل من الممكن إيجاد حل لنظام المعادلات س + 4ص = 1, 2س + 8ص = 3 بيانيا?
عدد الحلول لنظام المعادلات
يتم إعطاء نظام المعادلات:
| س + 4 ص = 1 |
| 2 + 8 ص = 3 |
لتحديد عدد الحلول ، من الضروري تحليل نظام المعادلات.
إذا كان النظام يحتوي على حل واحد ، فيقال إنه متوافق ومحدد. في هذه الحالة ، تتقاطع الخطوط المحددة بواسطة كل معادلة عند نقطة واحدة. يحتوي نظام المعادلات هذا على معادلتين ومجهولين ، لذلك يمكن أن يكون مشتركا ومحددا فقط إذا تزامنت الخطوط. وهذا هو ، إذا تم ضرب المعادلة 1 في 2 وتحويلها ، نحصل على:
| 2 (س + 4 ص) = 2 * 1 |
| 2 س + 8 ص = 2 |
من الواضح أن المعادلة الناتجة تتزامن مع المعادلة 2 للنظام. هذا يعني أن الخطوط التي قدمتها كل معادلة تتطابق وأن النظام لديه عدد لا حصر له من الحلول.
الجواب: يحتوي النظام على عدد لا حصر له من الحلول.
مشكلة إيجاد الحلول
يتكون نظام المعادلات هذا من معادلتين:
| المعادلة 1: | س + 4 ص = 1 |
| المعادلة 2: | 2 + 8 ص = 3 |
لحل هذا النظام من المعادلات ، من الضروري إيجاد مثل هذه القيم للمتغيرين س و ص ، حيث سيتم الوفاء بكلتا المعادلتين في وقت واحد. أي أننا بحاجة إلى إيجاد قيمتي س و ص التي تفي بكلتا المعادلتين في نفس الوقت.
إذا رسمنا هاتين المعادلتين على مستوى إحداثي ، فإن نقطة تقاطعهما ستكون حل النظام.
- إذا تقاطعت الرسوم البيانية للمعادلتين في نفس النقطة ، فسيكون للنظام حل فريد.
- إذا تزامنت الرسوم البيانية للمعادلتين ، فإن النظام لديه عدد لا نهائي من الحلول.
- إذا كانت الرسوم البيانية للمعادلتين متوازية ولا تتقاطع ، فلن يكون للنظام حلول.
في هذه الحالة ، لتحديد عدد الحلول للنظام ، من الضروري بناء رسوم بيانية للمعادلات وتحليلها.
نظرة عامة على نظام المعادلات
يتم إعطاء الشكل العام لنظام المعادلات على النحو التالي:
س + 4 ص = 1 |
2 + 8 ص = 3 |
يتكون هذا النظام من معادلتين مع مجهولين س و ص.
الطريقة المحددة لحل النظام
الطريقة المحددة هي طريقة لحل نظام المعادلات الخطية باستخدام المحددات. لنظام معادلات النموذج:
| س + 4 ص = 1 |
| 2 + 8 ص = 3 |
تبدو مصفوفة المعامل كما يلي:
| 1 | 4 |
| 2 | 8 |
لتطبيق طريقة المحدد ، من الضروري حساب محدد هذه المصفوفة. يتم حساب محدد المصفوفة باستخدام الصيغة التالية:
ديت (أ) = أ11 أ22-أ12 أ21
أين أ11, أ12, أ21, أ22 هي عناصر المصفوفة أ. في هذه الحالة:
ديت (أ) = 1 * 8 — 4 * 2 = 8 — 8 = 0
إذا كان محدد المصفوفة هو 0 ، فإن نظام المعادلات يحتوي على عدد لا حصر له من الحلول أو ليس له حلول على الإطلاق.
لمزيد من حل النظام باستخدام طريقة المحدد ، من الضروري حساب محددات المصفوفة ، واستبدال الأعمدة المقابلة لمصفوفة المعامل بأعمدة المصطلحات الحرة لنظام المعادلات.
في هذه الحالة:
| | 1 4 | | | 1 | |
| | 2 8 | | | 3 | |
لحساب محدد المحدد الأول ، استبدل العمود الأول من مصفوفة المعامل بعمود من المصطلحات الحرة:
| | 1 4 | | | 1 | |
| | 3 8 | | | 3 | |
وبالتالي ، فإن المحدد الأول هو:
ديت (أ 1) = 1 * 8 — 4 * 3 = 8 — 12 = -4
لحساب المحدد الثاني ، استبدل العمود الثاني من مصفوفة المعامل بعمود من المصطلحات الحرة:
| | 1 1 | | | 1 | |
| | 2 3 | | | 3 | |
وبالتالي ، فإن المحدد الثاني هو:
ديت (أ 2) = 1 * 3 — 1 * 2 = 3 — 2 = 1
للعثور على قيم المجهول ، استخدم الصيغة التالية:
س = ديت (أ1) / ديت(أ) = -4 / 0