تعتبر دراسة الاحتمالية فرعا مهما من الرياضيات يعتمد على تحليل الأحداث العشوائية. واحدة من أكثر المشاكل الاحتمالية شهرة وأبسطها هي احتمال سحب كرتين محددتين من جرة تحتوي على كرات بألوان مختلفة.
لنفترض أن هناك جرة تحتوي على 10 كرات: 6 أبيض و 4 أسود. المهمة هي تحديد احتمال سحب اثنين من الكرات البيضاء في صف واحد دون العودة.
لحل هذه المشكلة ، من الضروري تطبيق التوافقية وقاعدة مضاعفة الاحتمالات. أولا ، دعونا ننظر في جميع النتائج المحتملة ، أي عدد من الطرق للحصول على 2 كرات من جرة. ثم سنجد عدد النتائج الإيجابية ، أي عدد الطرق لسحب 2 كرات بيضاء.
تقول قاعدة الضرب الاحتمالي: احتمال حدوث حدثين مستقلين بالتتابع يساوي حاصل ضرب احتمالات كل حدث على حدة.
- ما هو احتمال إزالة اثنين من الكرات البيضاء من جرة مع 6 كرات بيضاء و 4 كرات سوداء
- احتمال إزالة الكرة البيضاء الأولى من الجرة
- احتمال إخراج الكرة البيضاء الثانية بعد إخراج الكرة الأولى
- سؤال وجواب
ما هو احتمال إزالة اثنين من الكرات البيضاء من جرة مع 6 كرات بيضاء و 4 كرات سوداء
لحساب احتمال إزالة اثنين من الكرات البيضاء من الجرة ، تحتاج أولا إلى تحديد العدد الإجمالي للمجموعات الممكنة لاختيار اثنين من الكرات من جميع الكرات.
هناك 6 كرات بيضاء و 4 كرات سوداء في الجرة. العدد الإجمالي للكرات في الجرة: 6 + 4 = 10.
الآن تحتاج إلى تحديد عدد التوليفات الممكنة لاختيار اثنين من الكرات البيضاء. نظرا لأننا نخرج كرة واحدة في كل مرة ولا نعيدها مرة أخرى ، فإن عدد المجموعات الممكنة لاختيار كرتين يساوي عدد مجموعات 6 في 2.
يمكن حساب عدد مجموعات 6 في 2 باستخدام صيغة الجمع. صيغة الجمع هي: ج (ن ، ك) = ن! / (ك!(ن-ك)!) ، أين ن هو العدد الإجمالي للعناصر ، ك هو عدد العناصر المحددة. في حالتنا ، ن = 6 و ك = 2.
حساب عدد المجموعات:
ج (6 ، 2) = 6! / (2!(6-2)!)
ج (6 ، 2) = 6! / (2! * 4!)
جيم(6, 2) = (6 * 5 * 4!) / (2! * 4!)
جيم(6, 2) = 6 * 5 / (2 * 1)
ج (6، 2) = 15
لذا ، فإن عدد التوليفات الممكنة لاختيار كرتين هو 15.
أنت الآن بحاجة إلى تحديد عدد المجموعات الممكنة لاختيار كرتين دون قيود. في هذه الحالة ، فإن العدد الإجمالي للمجموعات من اختيار اثنين من الكرات يساوي عدد مجموعات من جميع الكرات من 2.
عدد مجموعات من اثنين من الكرات من جميع الكرات: ج(10 ، 2) = 10! / (2!(10-2)!) = (10 * 9) / (2 * 1) = 45
وبالتالي ، فإن العدد الإجمالي لمجموعات اختيار كرتين من جميع الكرات هو 45.
وأخيرا ، لحساب احتمال إخراج اثنين من الكرات البيضاء ، فمن الضروري تقسيم عدد من التوليفات الممكنة من اختيار اثنين من الكرات البيضاء من قبل العدد الإجمالي للمجموعات من اختيار اثنين من الكرات.
احتمال إخراج اثنين من الكرات البيضاء: 15/45 = 1/3
وبالتالي ، فإن احتمال إزالة اثنين من الكرات البيضاء من جرة مع 6 كرات بيضاء و 4 كرات سوداء هو 1/3 أو حوالي 0.3333.
احتمال إزالة الكرة البيضاء الأولى من الجرة
لدينا جرة تحتوي على 6 كرات بيضاء و 4 كرات سوداء. نحتاج إلى سحب كرة واحدة من الجرة وحساب احتمال أن تكون كرة بيضاء.
لحساب احتمال سحب الكرة البيضاء الأولى ، يجب أن تأخذ في الاعتبار عدد الكرات البيضاء والسوداء في الجرة. العدد الإجمالي للكرات في الجرة هو 10 (6 أبيض و 4 أسود). لذلك ، فإن احتمال سحب كرة بيضاء واحدة من الجرة يساوي نسبة عدد الكرات البيضاء إلى العدد الإجمالي للكرات:
احتمال الحصول على الكرة البيضاء الأولى = عدد الكرات البيضاء / العدد الإجمالي للكرات
احتمال سحب الكرة البيضاء الأولى = 6/10
احتمال سحب الكرة البيضاء الأولى = 0.6
وبالتالي ، فإن احتمال أن تكون الكرة الممدودة الأولى بيضاء هو 0.6 أو 60٪.
احتمال إخراج الكرة البيضاء الثانية بعد إخراج الكرة الأولى
لتحديد احتمال إزالة الكرة البيضاء الثانية بعد إزالة الكرة الأولى من الجرة مع 6 كرات بيضاء و 4 كرات سوداء ، من الضروري مراعاة التغيير في تكوين الجرة بعد سحب الكرة الأولى.
في البداية ، هناك 6 كرات بيضاء و 4 كرات سوداء في الجرة ، أي لا يوجد سوى 10 كرات. احتمال إخراج الكرة البيضاء الأولى هو 6/10 أو 3/5 ، حيث يوجد 6 كرات بيضاء و 10 كرات في المجموع.
بعد إخراج الكرة الأولى ، تبقى 5 كرات بيضاء و 4 كرات سوداء في الجرة ، أي ما مجموعه 9 كرات. لتحديد احتمال إزالة الكرة البيضاء الثانية ، من الضروري النظر في حالتين:
- إذا لم يتم إرجاع الكرة الأولى إلى الجرة ، فإن احتمال إخراج الكرة البيضاء الثانية هو 5/9 ، نظرا لوجود 5 كرات بيضاء متبقية و 9 كرات في المجموع.
- إذا أعيدت الكرة الأولى إلى الجرة ، فلن يتغير تكوين الجرة ويظل احتمال إزالة الكرة البيضاء الثانية هو نفسه احتمال إزالة الكرة البيضاء الأولى ، أي 6/10 أو 3/5.
لذلك ، يمكن تمثيل احتمال إخراج الكرة البيضاء الثانية بعد إخراج الكرة الأولى باستخدام الجدول التالي:
| القضية | الاحتمال |
|---|---|
| 1. لم يتم إرجاع الكرة الأولى إلى الجرة | 5/9 |
| 2. أعيدت الكرة الأولى إلى الجرة | 6/10 أو 3/5 |
وبالتالي ، فإن احتمال إزالة الكرة البيضاء الثانية بعد إزالة الكرة الأولى يعتمد على الظروف ويمكن أن يكون 5/9 أو 3/5.