العملة هي واحدة من أبسط الأدوات وأكثرها شعبية لإجراء تجارب الاحتمالات. تتمثل إحدى المهام المثيرة للاهتمام المرتبطة بقذف العملات في تحديد احتمال سقوط شعار النبالة لعدد معين من المرات مع عدد معين من القذف.
لنفترض أن لدينا عملة عادلة قياسية ، أي أن احتمال سقوط شعار النبالة والذيل هو 0.5. إذا قلبنا العملة 6 مرات ، فهناك 2^6 = 64 مجموعة مختلفة يمكن أن تسقط. السؤال هو كم من هذه المجموعات ستعطينا النتيجة عندما يسقط شعار النبالة 4 مرات بالضبط.
لحل هذه المشكلة ، يمكنك استخدام تركيبات أو صيغة برنولي. إذا قمت بتطبيق مجموعات، فإن عدد المجموعات عندما يسقط شعار النبالة 4 مرات من أصل 6 رميات سيكون مساويا لـ: ج (6 ، 4) = 6! / (4! * (6-4)!) = 15.
وبالتالي ، فإن احتمال سقوط شعار النبالة 4 مرات مع 6 تقلبات للعملة هو 15 من أصل 64 مجموعة ممكنة ، وهو ما يساوي تقريبا 0.2344 أو حوالي 23.44٪.
- ما هو احتمال سقوط شعار النبالة 4 مرات مع 6 تقلب العملة?
- قذفات العملة
- الصيغة والنتائج
- احتمال نتيجة ناجحة
- سؤال وجواب
- ما هو احتمال سقوط شعار النبالة 4 مرات مع 6 تقلب العملة?
- ما هو احتمال أن شعار النبالة سوف تسقط 4 مرات على التوالي من 6 تقلب عملة?
- ما هو احتمال سقوط شعار النبالة على الأقل 4 مرات مع 6 تقلب العملة?
- ما هو احتمال أن معطف من الأسلحة سوف تسقط بالضبط 4 مرات من أصل 6 عملة تقلب?
ما هو احتمال سقوط شعار النبالة 4 مرات مع 6 تقلب العملة?
للإجابة على هذا السؤال ، من الضروري تحديد العدد الإجمالي للنتائج وعدد النتائج الإيجابية.
في هذه الحالة ، نفكر في رمي عملة معدنية 6 مرات. يمكن أن تعطي كل رمية نتيجتين محتملتين: شعار النبالة أو ذيول.
يمكن حساب العدد الإجمالي للنتائج على أنه 2 إلى قوة 6 ، لأنه لكل لفة لدينا نتيجتان محتملتان. وبالتالي ، فإن العدد الإجمالي للنتائج يساوي 64 (2*2*2*2*2*2=64).
من أجل العثور على عدد من النتائج الإيجابية (أي. عدد المتغيرات التي يسقط فيها شعار النبالة 4 مرات) ، يجب أن نأخذ في الاعتبار جميع التركيبات التي يسقط فيها شعار النبالة 4 مرات بالضبط. يمكننا استخدام مجموعات أو جدول للأرقام الثنائية للعثور على هذه المجموعات.
دعونا نتخيل قذفات العملة كأرقام ثنائية ، حيث يتوافق 1 مع شعار النبالة و 0 يتوافق مع ذيول. ثم يمكن تمثيل جميع المجموعات الممكنة بالجدول التالي:
| 000000 | 000001 | 000010 | 000011 | 000100 | 000101 | 000110 | 000111 | 001000 | 001001 | 001010 | 001011 | 001100 | 001101 | 001110 | 001111 | 010000 | 010001 | 010010 | 010011 | 010100 | 010101 | 010110 | 010111 | 011000 | 011001 | 011010 | 011011 | 011100 | 011101 | 011110 | 011111 | 100000 | 100001 | 100010 | 100011 | 100100 | 100101 | 100110 | 100111 | 101000 | 101001 | 101010 | 101011 | 101100 | 101101 | 101110 | 101111 | 110000 | 110001 | 110010 | 110011 | 110100 | 110101 | 110110 | 110111 | 111000 | 111001 | 111010 | 111011 | 111100 | 111101 | 111110 | 111111 |
وبالتالي ، فإن النتائج الإيجابية (مجموعات مع 4 طبقات من الأسلحة) هي 15.
الآن يمكننا تحديد احتمال سقوط شعار النبالة 4 مرات مع 6 تقلبات عملة. الاحتمال يساوي نسبة النتائج الإيجابية إلى العدد الإجمالي للنتائج:
ع (4 طبقات من الأسلحة) = (عدد النتائج الإيجابية) / (إجمالي عدد النتائج)
ص (4 شعارات) = 15/64
ص (4 معاطف من الأسلحة) ≈ 0.2344 = 23.44%
وبالتالي ، فإن احتمال سقوط شعار النبالة 4 مرات مع 6 تقلبات عملة ما يقرب من 23.44٪.
قذفات العملة
العملة المعدنية هي واحدة من أكثر الأشياء شيوعا المستخدمة في نظرية الاحتمالات. بمساعدة تقلبات العملة ، يمكن التحقيق في العديد من الظواهر الاحتمالية.
احتمال سقوط شعار النبالة أو ذيول مع قلب عملة واحدة هو 0.5 ، لأن العملة لها جانبان محتملان بنفس القدر — شعار النبالة والذيل.
ومع ذلك ، إذا كنا مهتمين باحتمال سقوط شعار النبالة أو ذيول عدة مرات متتالية ، فنحن بحاجة إلى مراعاة احتمالات كل حدث فردي ومجموعاتها المحتملة.
على سبيل المثال ، إذا قلبنا عملة معدنية 4 مرات ، فيمكننا الحصول على المجموعات التالية:
- نعم (جميع شعارات النبالة)
- رر (جميع ذيول)
- نعم (ثلاث طبقات من الأسلحة وذيل واحد)
- غرغ (اثنين من المعاطف من الأسلحة واثنين من ذيول)
- رغر (معطف واحد من الأسلحة وثلاثة ذيول)
- وهلم جرا…
يمكن حساب احتمال كل مجموعة محددة من 4 قذفات عملة كمنتج لاحتمالات الأحداث الفردية. على سبيل المثال ، احتمال الحصول على الجمع "سى" هو 0,5 * 0,5 * 0,5 * 0,5 * (احتمال ذيول) = 0.0625.
بالنسبة لمشكلة احتمال سقوط شعار النبالة 4 مرات مع 6 تقلبات للعملات المعدنية ، فإننا نأخذ في الاعتبار أيضا جميع التركيبات الممكنة التي يسقط فيها شعار النبالة 4 مرات بالضبط. العدد الإجمالي للتركيبات الممكنة مع 6 تقلبات للعملة هو 2^6 = 64 ، حيث قد يقع شعار النبالة أو ذيول على كل قلب عملة.
وبالتالي ، لحساب احتمال سقوط شعار النبالة 4 مرات مع 6 تقلبات عملة ، تحتاج إلى إضافة احتمالات جميع المجموعات التي يسقط فيها شعار النبالة 4 مرات بالضبط ، وتقسيمها على العدد الإجمالي للتركيبات:
| عدد شعارات النبالة | عدد المجموعات | الاحتمال |
|---|---|---|
| 4 | 15 | 15/64 = 0,234375 |
وبالتالي ، فإن احتمال سقوط شعار النبالة 4 مرات مع 6 تقلبات للعملة هو 0.234375.
الصيغة والنتائج
لحساب احتمال سقوط شعار النبالة 4 مرات مع 6 تقلبات عملة ، نستخدم صيغة التوزيع ذات الحدين. صيغة حساب الاحتمال هي كما يلي:
ص (س = ك) = ج (ن ، ك) * ص^ك * (1-ص)^(ن-ك)
أين:
- ص (س = ك) - احتمال سقوط شعار النبالة ك مرات
- ج (ن ، ك) - عدد مجموعات ن بواسطة ك (عدد طرق الاختيار ك النجاحات من ن)
- ف-احتمال وجود شعار النبالة (0.5 لعملة واحدة)
- ن-إجمالي عدد العملات تقلب (6)
- ك-عدد النجاحات (4)
استبدال القيم في الصيغة ، نحصل على:
ف (س = 4) = ج(6, 4) * (0.5)^4 * (1-0.5)^(6-4) = 15 * 0.0625 * 0.25 = 0.234375
وبالتالي ، فإن احتمال سقوط شعار النبالة 4 مرات مع 6 تقلبات للعملة هو 0.234375 أو حوالي 23.44٪.
احتمال نتيجة ناجحة
احتمال نتيجة ناجحة ، في هذه الحالة ، يعني احتمال سقوط شعار النبالة 4 مرات مع 6 تقلبات عملة.
لحساب هذا الاحتمال ، يمكنك استخدام التوافقية وقاعدة الضرب الاحتمالية.
عدد جميع النتائج المحتملة لعملة إرم 6 مرات هو 2 إلى قوة 6 (منذ لكل عملة إرم هناك 2 النتائج المحتملة: معطف من الأسلحة أو ذيول). هذا هو:
26 = 64
للحصول على نتيجة ناجحة ، نحتاج إلى سقوط شعار النبالة 4 مرات. دعونا ننظر في جميع مجموعات إرم العملة الممكنة ، حيث يقع شعار النبالة بالضبط 4 مرات:
- ز ز ز ز ص ص
- ز ز ز ص ز ص
- ز ز ص ز ز ص
- ز ز ز ز ز ص
- ص ز ز ز ز ص
- ز ز ص ص ص
- ز ص ز ص ز ص
- ز ص ص ز ز ص
- ص ز ز ز ص ص
- آر جي آر جي جي آر
- ص ص ز ز ز ص
لا يوجد سوى مثل هذه المجموعات: 11.
وبالتالي ، فإن احتمال نتيجة ناجحة هو:
11/64 = 0.1719 (أو تقريب 17.19٪)
وهذا هو ، مع احتمال حوالي 17.19٪ ، فإن شعار النبالة تسقط بالضبط 4 مرات مع 6 تقلب عملة.
سؤال وجواب
ما هو احتمال سقوط شعار النبالة 4 مرات مع 6 تقلب العملة?
يمكن حساب احتمال سقوط شعار النبالة 4 مرات مع 6 تقلبات للعملة باستخدام صيغة التوزيع ذات الحدين. وفقا لهذه الصيغة ، فإن احتمال سقوط شعار النبالة 4 مرات من أصل 6 رميات هو (6 ج4)*(0.5)^4*(0.5)^2 = 15*(0.5)^6 = 0.234375, أي حوالي 23.44٪.
ما هو احتمال أن معطف من الأسلحة ستسقط 4 مرات على التوالي من 6 تقلب عملة?
احتمال سقوط شعار النبالة 4 مرات متتالية من أصل 6 تقلبات للعملة هو (0.5) ^ 4 = 0.0625 ، أي 6.25٪. هذا يرجع إلى حقيقة أن احتمال سقوط شعار النبالة أو ذيول على كل قلب عملة هو 0.5 ، واحتمالات كل تقلب عملة مستقلة عن بعضها البعض.
ما هو احتمال سقوط شعار النبالة على الأقل 4 مرات مع 6 تقلب العملة?
يمكن حساب احتمال سقوط شعار النبالة 4 مرات على الأقل مع 6 تقلبات للعملة مع مراعاة احتمالات جميع النتائج المحتملة: 4 طبقات من الأسلحة — (6 درجة مئوية 4)*(0.5)^4*(0.5)^2 = 15*(0.5)^6 = 0.234375 ، 5 شعارات - (6 ج 5)*(0.5)^5*(0.5)^1 = 6*(0.5)^6 = 0.09375, 6 شعارات النبالة — (6 ج 6)*(0.5)^6*(0.5)^0 = (0.5)^6 = 0.015625. بتلخيص هذه الاحتمالات ، نحصل على احتمال سقوط شعار النبالة 4 مرات على الأقل مع 6 تقلبات عملة تساوي 0.234375 + 0.09375 + 0.015625 = 0.34375 ، أي ما يقرب من 34.375٪.
ما هو احتمال أن معطف من الأسلحة سوف تسقط بالضبط 4 مرات من أصل 6 عملة تقلب?
يمكن حساب احتمال سقوط شعار النبالة بالضبط 4 مرات من أصل 6 تقلبات للعملة ، مع مراعاة احتمالات النتائج المقابلة: (6 ج 4)*(0.5)^4*(0.5)^2 = 15*(0.5)^6 = 0.234375, أي حوالي 23.44٪.