احتمال سقوط شعار النبالة 3 مرات مع 5 قذفات عملة: الحساب والتحليل

الاحتمال هو مفهوم يرتبط ارتباطا وثيقا بفرص حدوث حدث معين. أبسط مثال على مثل هذا الحدث هو رمي العملة ، عندما نتوقع سقوط نسر أو شعار النبالة. ولكن ما هو احتمال أن يسقط شعار النبالة ثلاث مرات متتالية بخمس رميات?

لحساب احتمال مثل هذا الحدث ، من الضروري تطبيق صيغة التوافقية. لدينا 5 قذفات عملة واثنين من النتائج المحتملة-شعار النبالة أو النسر. ومع ذلك ، نحن مهتمون فقط بالسيناريو عندما يسقط شعار النبالة ثلاث مرات متتالية. هذا يعني أن لدينا مجموعة واحدة فقط ترضي حالتنا – شعار النبالة ، شعار النبالة ، شعار النبالة ، النسر ، النسر.

وبالتالي ، فإن احتمال سقوط شعار النبالة ثلاث مرات متتالية بخمس رميات من العملات المعدنية هو 1/32 أو حوالي 0.03125. هذا يعني أنه مع وجود فرصة تبلغ حوالي 3 ٪ ، يمكننا توقع مثل هذه النتيجة.

ومع ذلك ، تجدر الإشارة إلى أن الاحتمال ليس ضمانا. هناك مجموعات أخرى محتملة من النتائج التي يمكن أن تحدث عند رمي عملة معدنية. على سبيل المثال ، قد يسقط شعار النبالة مرتين أو مرة واحدة على التوالي ، يليه نسر.

1. تحديد الاحتمال
2. قيمة القوالب والاحتمالات
3. الصيغة لحساب الاحتمال
4. مثال على حساب الاحتمال
5. تحليل النتائج
6. تأثير عدد الرميات على الاحتمال
7. سؤال وجواب
8. ما هو احتمال معطف من الأسلحة سقوطه 3 مرات مع 5 قذفات عملة?
9. ما هو احتمال سقوط شعار النبالة أكثر من 3 مرات مع 5 قذفات عملة?
10. ما هو احتمال سقوط شعار النبالة لا يزيد عن 2 مرات مع 5 قذفات عملة?

تحديد الاحتمال

الاحتمال هو خاصية عددية توضح مدى احتمال أو احتمال حدوث حدث معين. يتم التعبير عنها من خلال نسبة عدد النتائج الإيجابية إلى العدد الإجمالي للنتائج المحتملة.

غالبا ما يستخدم التعريف الكلاسيكي للاحتمال لتقدير احتمالية حدث عشوائي:

1. تعريف الاحتمال الكلاسيكي: احتمال الحدث أ يساوي نسبة عدد النتائج الإيجابية التي يحدث فيها الحدث أ إلى العدد الإجمالي للنتائج المحتملة المتساوية.

يشار إلى احتمال الحدث أ على أنه ص (أ) أو العلاقات العامة(أ).

في هذه الحالة ، عندما يتعلق الأمر باحتمال سقوط شعار النبالة عند رمي عملة معدنية ، لدينا نتيجتان محتملتان بنفس القدر: شعار النبالة (د) أو ذيول (ص). وبالتالي ، فإن العدد الإجمالي للنتائج الممكنة بالتساوي هو 2.

سيكون حدث "سقوط شعار النبالة 3 مرات مع 5 رميات عملة" نتيجة إيجابية فقط إذا سقط شعار النبالة 3 مرات بالضبط من أصل 5 رميات. يمكن تحديد عدد النتائج الإيجابية باستخدام صيغة الجمع: ج (5 ، 3) = 10.

وبالتالي ، يمكن العثور على احتمال سقوط شعار النبالة 3 مرات مع 5 رميات عملة باستخدام صيغة الاحتمال الكلاسيكية:

ع (شعار النبالة 3 مرات مع 5 قذفات عملة) = عدد النتائج الإيجابية / إجمالي عدد النتائج = 10 / 2 = 5.

وبالتالي ، فإن احتمال سقوط شعار النبالة 3 مرات مع 5 قذفات عملة هو 5/2 أو 2.5.

قيمة القوالب والاحتمالات

مسألة احتمال سقوط شعار النبالة 3 مرات مع 5 قذفات عملة واحدة من الأمثلة الكلاسيكية في نظرية الاحتمالات. لحل هذه المشكلة ، من الضروري استخدام التوافقية وتحديد عدد النتائج الإيجابية.

تشكل 5 قذفات للعملات المعدنية مساحة من الأحداث الأولية تتكون من 2^5 = 32 نتيجة محتملة. كل عملة إرم يمكن أن تأخذ قيمتين-معطف من الأسلحة أو ذيول.

لتحديد عدد النتائج الإيجابية (أي عدد النتائج عندما يسقط شعار النبالة 3 مرات) ، من الضروري استخدام التحليل التوافقي.

باستخدام صيغة الجمع ، يمكنك حساب عدد المجموعات التي يظهر فيها شعار النبالة 3 مرات:

ج (5 ، 3) = 5! / (3!(5-3)!) = 10 مجموعات.

وبالتالي ، فإن عدد النتائج الإيجابية هو 10.

الآن يمكنك حساب احتمال سقوط شعار النبالة 3 مرات مع 5 قذفات عملة:

ع (شعار النبالة 3 مرات) = عدد النتائج الإيجابية / عدد جميع النتائج المحتملة = 10/32 = 0.3125 (أو 31.25٪).

وبالتالي ، فإن احتمال سقوط شعار النبالة 3 مرات مع 5 قذفات عملة ما يقرب من 31.25٪.

الصيغة لحساب الاحتمال

لحساب احتمال سقوط شعار النبالة 3 مرات مع 5 قذفات عملة معدنية ، يمكننا استخدام الطريقة التوافقية. في هذه الحالة ، نحتاج إلى حساب عدد النتائج الإيجابية والعدد الإجمالي لجميع النتائج المحتملة.

يتم تحديد العدد الإجمالي لجميع النتائج المحتملة بواسطة الصيغة:

أين ن هو عدد قذفات العملة.

في حالتنا ، وعدد من جميع النتائج المحتملة هو 2^5 = 32 ، لأن كل إرم عملة يمكن أن تأخذ 2 القيم الممكنة — معطف من الأسلحة أو ذيول.

يمكن تحديد عدد النتائج الإيجابية باستخدام صيغة الجمع:

أين ن هو عدد قذفات العملة ، ك هو عدد شعارات النبالة المطلوبة.

في حالتنا ، عدد النتائج الإيجابية هو ج(5, 3) * 2^3 = 10 * 8 = 80. هنا ج (5 ، 3) هو عدد المجموعات من 5 إلى 3 = 10.

أخيرا ، يمكن حساب احتمال سقوط شعار النبالة 3 مرات مع 5 رميات عملة باستخدام الصيغة:

في حالتنا ، الاحتمال هو 80/32 = 2.5.

وبالتالي ، فإن احتمال سقوط شعار النبالة 3 مرات مع 5 قذفات عملة هو 2.5٪.

مثال على حساب الاحتمال

للنظر في مثال لحساب احتمال سقوط شعار النبالة 3 مرات مع 5 رميات عملة معدنية ، من الضروري معرفة أن احتمال سقوط شعار النبالة في رمية عملة واحدة هو 0.5 أو 50٪.

في هذه الحالة ، هناك 5 تجارب مستقلة (رمي العملات المعدنية) ، ويمكن أن تنتهي كل تجربة بنتيجتين محتملتين — فقدان شعار النبالة أو فقدان ذيول.

يستخدم التوافقية لحساب احتمال سقوط شعار النبالة 3 مرات مع 5 قذفات عملة. يمكن حساب عدد المجموعات التي يظهر فيها شعار النبالة 3 مرات باستخدام الصيغة:

ج = نك

أين ج هو عدد المجموعات ، ن هو عدد التجارب (قذفات العملة) ، و ك هو عدد النتائج الناجحة (شعار النبالة).

في حالتنا ، ن = 5 و ك = 3. باستبدال هذه القيم في الصيغة ، نحصل على:

ج = 5 ج 3 = 5 ج 3 = 5 ج 2 = 10.

وبالتالي ، هناك 10 مجموعات مختلفة يظهر فيها شعار النبالة 3 مرات مع 5 قذفات عملة معدنية.

الآن يمكنك حساب احتمال تحقيق هذه النتيجة. للقيام بذلك ، قم بتقسيم عدد المجموعات التي يظهر فيها شعار النبالة 3 مرات على العدد الإجمالي للتركيبات الممكنة مع 5 رميات عملة:

الاحتمال = ج / 2 ن

أين ج هو عدد المجموعات و ن هو عدد التجارب (قذفات العملة) ، في هذه الحالة 5.

وبالتالي ، فإن احتمال سقوط شعار النبالة 3 مرات مع 5 قذفات عملة هو:

احتمال = 10 / 25 = 10 / 32 = 0,3125 أو 31.25٪.

وبالتالي ، فإن احتمال سقوط شعار النبالة 3 مرات مع 5 قذفات عملة هو 31.25٪.

تحليل النتائج

تظهر الحسابات أن احتمال سقوط شعار النبالة 3 مرات مع 5 قذفات عملة هو 0.3125 أو 31.25٪. وبالتالي ، يمكننا القول أن فرص سقوط شعار النبالة في هذه الحالة ليست عالية جدا.

ومع ذلك ، تجدر الإشارة إلى أن احتمال سقوط شعار النبالة مع كل عملة معدنية هو 0.5 أو 50٪. وهذا يعني أن كل الوجه عملة مستقلة عن النتائج السابقة.

ويترتب على ذلك أن نتائج كل عملة إرم لا تؤثر على نتائج القوائم اللاحقة. لذلك ، على الرغم من أن احتمال سقوط شعار النبالة 3 مرات متتالية منخفض ، إلا أنه لا يزال ممكنا. من الناحية العملية ، فإن فقدان شعار النبالة 3 مرات متتالية ليس نادرا كما قد يبدو.

وبالتالي ، عند تحليل النتائج ، من الضروري مراعاة احتمال كل عملة فردية ، وفهم أيضا أن احتمال سقوط شعار النبالة 3 مرات متتالية ليس هو المعيار الرئيسي لتقييم هذا الموقف.

تأثير عدد الرميات على الاحتمال

يعتمد احتمال سقوط شعار النبالة أو النسر عند رمي عملة معدنية على عدد الرميات. كلما قلبنا عملة معدنية أكثر ، كلما اقترب احتمال سقوط شعار النبالة أو سقوط النسر من 0.5 ، أي إلى احتمال متساو.

للحصول على تمثيل مرئي أكثر ، يمكنك التفكير في جدول يسرد احتمالات سقوط شعار النبالة لعدد مختلف من المرات مع 5 قذفات عملة معدنية.

يوضح الجدول أن احتمال سقوط شعار النبالة 3 مرات هو 0.3125. في هذه الحالة ، يسقط النسر 3 مرات وشعار النبالة يسقط 2 مرات. هذا هو المزيج الذي يعطي أعلى احتمال. إذا قمت بزيادة أو تقليل عدد قذفات العملة ، فإن احتمال سقوط شعار النبالة سيتغير 3 مرات.

تبين أن القانون العام هو ما يلي: مع زيادة عدد قذفات العملات المعدنية ، يتقارب احتمال سقوط شعار النبالة أو سقوط النسر إلى احتمال متساو قدره 0.5. أي ، إذا قلبنا عملة معدنية في كثير من الأحيان ، فسنلاحظ تقريبا نفس العدد من شعارات النبالة والنسور التي تسقط.

سؤال وجواب

ما هو احتمال معطف من الأسلحة سقوطه 3 مرات مع 5 قذفات عملة?

لتحديد الاحتمال ، تحتاج إلى استخدام صيغة التوزيع ذات الحدين. في هذه الحالة ، فإن احتمال النجاح (فقدان شعار النبالة) في اختبار واحد هو 0.5 ، لأن العملة متناظرة. سوف تبدو الصيغة كما يلي: ص (س = ك) = ج (ن ، ك) * ص^ك * (1-ص)^(ن-ك) ، أين ن هو عدد التجارب (5) ، ك هو عدد النجاحات (3) ، ص هو احتمال النجاح (0.5) ، ج(ن ، ك) هو عدد المجموعات من ن إلى ك. استبدال القيم في الصيغة ، نحصل على ص(س=3) = ج(5,3) * (0.5)^3 * (1-0.5)^(5-3).

ما هو احتمال سقوط شعار النبالة أكثر من 3 مرات مع 5 قذفات عملة?

لتحديد احتمال سقوط شعار النبالة أكثر من 3 مرات مع 5 قذفات عملة ، تحتاج إلى حساب مجموع احتمالات سقوط شعار النبالة 4 مرات و 5 مرات. يمكن حساب احتمال سقوط شعار النبالة 4 مرات مع 5 رميات عملة باستخدام صيغة التوزيع ذات الحدين: ص (س = 4) = ج(5,4) * (0.5)^4 * (1-0.5)^(5-4). وبالمثل ، فإن احتمال سقوط شعار النبالة 5 مرات مع 5 قذفات عملة: ص (س = 5) = ج(5,5) * (0.5)^5 * (1-0.5)^(5-5). ثم تحتاج إلى إضافة هذين الاحتمالين.

ما هو احتمال سقوط شعار النبالة لا يزيد عن 2 مرات مع 5 قذفات عملة?

لتحديد احتمال سقوط شعار النبالة لا يزيد عن 2 مرات مع 5 قذفات عملة ، تحتاج إلى حساب مجموع احتمالات سقوط شعار النبالة 0 و 1 و 2 مرات. يمكن حساب احتمال سقوط شعار النبالة 0 مرات مع 5 رميات عملة باستخدام صيغة التوزيع ذات الحدين: ص (س = 0) = ج(5,0) * (0.5)^0 * (1-0.5)^(5-0). وبالمثل ، فإن احتمال معطف من الأسلحة تسقط 1 مرة مع 5 قذفات عملة: ص (س=1) = ج(5,1) * (0.5)^1 * (1-0.5)^(5-1). واحتمال معطف من الأسلحة تسقط 2 مرات مع 5 قذفات عملة: ع (س=2) = ج(5,2) * (0.5)^2 * (1-0.5)^(5-2). ثم تحتاج إلى إضافة هذه الاحتمالات الثلاثة.