أحد جوانب مثلث متساوي الساقين المدرج يساوي قطري مربع: دليل

في الهندسة ، هناك نوع خاص من المثلث يسمى مثلث متساوي الساقين المدرج. لها خاصية أن أحد جوانبها يساوي قطري المربع المدرج في هذا المثلث. هذه خاصية مثيرة للاهتمام للغاية يمكن إثباتها باستخدام التفكير الهندسي البسيط.

تخيل أن لدينا مثلث متساوي الساقين المدرج أبك ، الذي أب = أس. دعونا رسم ارتفاع م ، والتي سوف تمر من خلال منتصف الجانب أب وعمودي على ذلك. أيضا ، رسم الأقطار م ويكون من مربع المدرج في مثلث أبك.

منذ مثلث اي بي سي هو متساوي الساقين ، ولها زوايا متساوية في القمم ب و ج. ولذلك ، فإن زاوية أبك يساوي زاوية أسب. وبما أن الزوايا التي شكلتها قاعدة المثلث والارتفاع متجاورة ، فإن الزوايا باك و أبك متساوية أيضا. وهذا هو ، مثلث أبك هو مثلث متساوي الزوايا.

1. دليل على صيغة طول ضلع مثلث متساوي الساقين منقوش
2. دليل على البيان الأول
3. دليل على البيان الثاني
4. دليل على صيغة الطول القطري للمربع
5. دليل على البيان الأول
6. سؤال وجواب
7. كيف يمكننا إثبات أن أحد جوانب مثلث متساوي الساقين المدرج يساوي قطري مربع?
8. ما هي الخاصية التي يجب استخدامها لإثبات المساواة في جانب مثلث متساوي الساقين المدرج وقطري مربع?
9. هل من الممكن إثبات المساواة في جانب مثلث متساوي الساقين المدرج وقطري مربع دون استخدام خاصية مثلث متساوي الساقين?
10. ما هي الخصائص الأخرى للزاوية المنقوشة التي يمكن استخدامها لإثبات المساواة في جانب مثلث متساوي الساقين المنقوش وقطر المربع?

دليل على صيغة طول ضلع مثلث متساوي الساقين منقوش

تعبر صيغة طول ضلع مثلث متساوي الساقين المدرج عن نسبة طول أحد أضلاع المثلث إلى قطر المربع الذي نقش فيه المثلث.

دع جانب المربع يكون أ وقطر المربع يكون د. الشرط التالي ينطبق على مثلث متساوي الساقين منقوش:

• جانب المثلث يساوي س.
• قاعدة المثلث (المسافة من مركز المربع إلى أحد جوانبه) هي ص.
• ارتفاع المثلث (المسافة من مركز المربع إلى أعلى المثلث) يساوي ح.

وفقا لنظرية فيثاغورس ، فإن المعادلة التالية تنطبق على مثلث قائم الزاوية يتكون من ضلع مربع وقطر ونصف قطر المثلث:

د2 = أ2 + أ2 = 2 أ2

يمكن التعبير عن قاعدة المثلث من حيث ضلع المثلث ونصف قطره باستخدام نسبة حساب المثلثات:

ص = إكسكوس (45°) = س/2 2

يمكن التعبير عن ارتفاع المثلث من حيث ضلع المثلث ونصف قطره ، باستخدام نسبة حساب المثلثات أيضا:

ح = شسين (45°) = س/2 2

من المعروف أن نصف قطر المثلث يساوي نصف قطر المربع، أي:

س = د / 2

استبدال قيم قاعدة وارتفاع المثلث في النسبة:

د2 = أ2 + أ2

نحصل على:

أ2 + أ2 = 2 (د/2) 2

أ2 + أ2 = 2 د2 / 4

أ2 + أ2 = د2 / 2

وهكذا ، نحصل على صيغة طول ضلع مثلث متساوي الساقين المدرج:

أ = d (مد 2/2)

دليل على البيان الأول

بادئ ذي بدء ، دعنا نشير إلى هذا البيان على أنه "البيان أ".

البيان أ: أحد جوانب المثلث متساوي الساقين المدرج يساوي قطري المربع.

لإثبات هذا البيان ، ضع في اعتبارك الموقف التالي:

1. لنفترض أن لدينا مثلثا متساوي الساقين منقوشا داخل مربع.

2. دعنا نشير إلى جانب المربع على أنه" أ "وجوانب المثلث متساوي الساقين على أنها"ب".

3. لاحظ أنه في مثلث متساوي الساقين ، تكون الزاويتان في القاعدة متساويتين ، لأنهما يتوافقان مع أقواس متساوية على الدائرة (انظر خاصية الزاوية المنقوشة).

4. وبالتالي ، يمكننا القول أن الأضلاع المتقابلة لمثلث متساوي الساقين متساوية (مشكلة مثلث متساوي الساقين).

5. دع أحد الأضلاع المتقابلة لمثلث متساوي الساقين يساوي "ب" ، إذن ، وفقا للبيان أ ، يجب أن يكون هذا الضلع مساويا لقطر المربع.

6. وهكذا ، أثبتنا البيان أ ، الذي يقول: أحد جوانب مثلث متساوي الساقين المدرج يساوي قطري مربع.

إذن ، لدينا دليل رياضي على البيان الأول. يعتمد على خصائص الزوايا المنقوشة والمثلثات متساوية الساقين.

دليل على البيان الثاني

البيان الثاني الذي يجب إثباته هو أن جانب المثلث متساوي الساقين المدرج يساوي قطري المربع.

دليل:

1. السماح أبسد يكون مربع المدرج في دائرة س.
2. دع المثلث آبي يكون مثلث متساوي الساقين ، حيث ه هو منتصف الجانب أب.
3. دع أيضا م يكون منتصف الجانب عبد اللطيف.
4. المثلث آبي متساوي الساقين لأن الجانب أب يساوي الجانب عبد اللطيف (المربع متساوي الساقين).
5. زاوية إيب هو 90 درجة لأن إيب هو الزاوية اليمنى (زاوية لكل قطر).
6. زاوية إما هي أيضا 90 درجة لأن أنا عمودي على عبد اللطيف من خلال منتصف الجانب.
7. وبالتالي ، فإن زاوية إيم هي أيضا 90 درجة ، منذ آم و إ عمودي.
8. ويترتب على الفقرة 6 أن مثلث إيم هو مثلث قائم الزاوية.
9. وفقا لنظرية فيثاغورس ، فإن مربع وتر المثلث يساوي مجموع مربعات الأرجل (م^2 + صباحا^2).
10. لكن الوتر آم يساوي جانب المربع (عن طريق البناء) والقسطرة إم يساوي نصف جانب المربع (منذ م هو منتصف الجانب إ).
11. وهكذا ، أنا^2 = أب^2/4 و إم^2 = أب^2/4.
12. لذلك ، فإن مربع الوتر صباحا^2 هو (أب^2/4 + أب ^ 2/4) = أب^2/2.
13. وهذا هو ، أنا = أب / √2.
14. لكن جانب المثلث متساوي الساقين المدرج (آبي) يساوي قطري المربع صباحا.
15. وهكذا ، فإن جانب المثلث متساوي الساقين المدرج يساوي أب / √2.
16. إثبات البيان الثاني كامل.

وهكذا ، فقد أظهرنا أن جانب المثلث متساوي الساقين المدرج يساوي قطري المربع.

دليل على صيغة الطول القطري للمربع

يمكن إثبات صيغة حساب الطول القطري للمربع بسهولة باستخدام الخصائص الهندسية للأشكال ، وكذلك نظرية فيثاغورس.

دع جانب المربع يساوي أ.

1. النظر في مثلث قائم الزاوية التي شكلتها قطري واثنين من الجانبين من مربع. بحكم تعريف المربع ، فإن جوانبه تساوي أ.
2. دعونا نشير إلى طول قطري كما د.
3. باستخدام نظرية فيثاغورس لمثلث قائم الزاوية ، نحصل على المعادلة التالية: أ^2 + أ^2 = د^2.
4. تبسيط المعادلة: 2 أ^2 = د^2.
5. دعونا نعبر عن طول القطر: د= الجذر التربيعي (2 أ^2).

وبالتالي ، فإن صيغة الطول القطري للمربع تبدو كما يلي: د = أ * الجذر التربيعي(2).

من هذا الدليل ، يترتب على ذلك أن الطول القطري للمربع هو دائما نتيجة ضرب طول ضلعه في قيمة الجذر التربيعي لاثنين (الجذر التربيعي(2)).

دليل على البيان الأول

لنفترض أن لدينا مثلث متساوي الساقين المدرج أبك الذي أس الجانب يساوي قطري من الساحة. لإثبات العبارة الأولى ، نحتاج إلى إظهار أن الجانب أب يساوي أيضا قطري المربع.

بادئ ذي بدء ، دعونا ننظر في تعريف مثلث متساوي الساقين المدرج. في هذه الحالة ، هو مثلث أبك ، حيث زاوية باك يساوي زاوية أكب. ومن المعروف أيضا أن جانب التيار المتردد يساوي قطري المربع.

نستخدم خاصية الزاوية المركزية في دائرة: الزاوية التي شكلها القوس تساوي ضعف الزاوية التي شكلها الوتر الذي يربط نهايات القوس. في حالتنا ، الزاوية باك تساوي الزاوية أكب ، مما يعني أن الزاوية بوك تساوي أيضا الزاوية أكب.

بعد ذلك ، ضع في اعتبارك المثلث الأيمن بنك كندا. وفقا لنظرية فيثاغورس ، فإن مجموع مربعات الساقين يساوي مربع الوتر. في حالتنا ، مجموع مربعات الجانبين أوب و أوك يساوي مربع الجانب قبل الميلاد ، منذ زاوية بوك يساوي زاوية أكب.

وهكذا ، لدينا:

1. أوب2 + أوك2 = بي سي2
2. ايه بي 2 + ايه سي 2 = بي سي 2

بمقارنة هاتين المعادلتين ، نرى ذلك أوب2 + أوك2 = أب2 + أ2 ، ومنذ أوب + أوك = أب + أس ، يمكننا استبدال الجانب الأيمن من المعادلة بمربع قطري المربع ، لأن أس يساوي قطري المربع.

وهكذا ، نحصل على:

أوب2 + أوب2 = أب2 + أوب2 = أب2 + أوب2 + أوب2

ويترتب على ذلك أب يساوي قطري من مربع:

أب2 = أ2

أب = أس

وهكذا ، أثبتنا أن الجانب أب في مثلث متساوي الساقين أبك ، المدرج في مربع ، يساوي قطري من الساحة.

سؤال وجواب

كيف يمكننا إثبات أن أحد جوانب مثلث متساوي الساقين المدرج يساوي قطري مربع?

لإثبات هذه الحقيقة ، تحتاج إلى استخدام خصائص زاوية منقوشة ومثلث متساوي الساقين. من البيانات الأولية ، تحتاج إلى العثور على خاصية مثلث متساوي الساقين ، ثم استخدام خصائصه لإظهار أن أحد الجانبين يساوي قطري المربع.

ما هي الخاصية التي يجب استخدامها لإثبات المساواة في جانب مثلث متساوي الساقين المدرج وقطري مربع?

لإثبات المساواة في جانب مثلث متساوي الساقين المدرج وقطر مربع ، تحتاج إلى استخدام خاصية مثلث متساوي الساقين ، والتي تنص على أن جانبي مثلث متساوي الساقين متساويان. تحتاج أيضا إلى استخدام خاصية الزاوية المنقوشة للمثلث.

هل من الممكن إثبات المساواة في جانب مثلث متساوي الساقين المدرج وقطري مربع دون استخدام خاصية مثلث متساوي الساقين?

لا ، من المستحيل إثبات المساواة بين ضلع مثلث متساوي الساقين المدرج وقطري مربع دون استخدام خاصية المثلث متساوي الساقين. خاصية مثلث متساوي الساقين هي الأساس لإثبات هذه المساواة.

ما هي الخصائص الأخرى للزاوية المنقوشة التي يمكن استخدامها لإثبات المساواة في جانب مثلث متساوي الساقين المنقوش وقطر المربع?

لإثبات المساواة في جانب مثلث متساوي الساقين المدرج وقطري مربع ، يمكنك استخدام خصائص الزاوية المنقوشة مثل: مجموع الزوايا المتكونة عندما تتقاطع الأوتار عند نقطة واحدة هو 180 درجة ؛ كل من هذه الزوايا تساوي نصف الزاوية المركزية المقابلة لقوس الوتر; الزاوية المركزية المقابلة لقوس الوتر تساوي ضعف الزاوية المتكونة عند تقاطع الوتر والوتر الذي يعبره في نفس النقطة.