جيب وخصائصه
الجيب هو أحد الدوال المثلثية الرئيسية ، والذي يستخدم على نطاق واسع في الرياضيات والفيزياء. يسمح لك بحساب قيم الزوايا وأطوال جوانب المثلثات ، ويصف أيضا التذبذبات والأمواج الدورية. من المهم معرفة أن قيمة جيب الزاوية تعتمد فقط على الزاوية نفسها ، ولكن ليس على وحدة القياس الخاصة بها.
دليل على المساواة في الخطيئة خطيئة سنويا أ
نظرية: قيم جيب الزاوية متساوية لأي زاوية أ.
يعتمد إثبات هذه النظرية على استخدام الأساليب الهندسية والجبرية. من وجهة نظر هندسية ، يمثل الجيب نسبة طول القسطرة المعاكسة إلى وتر المثلث القائم الزاوية.
الافتراض: دع أ و ب تكون زاويتين تعسفيتين ، مع أ b ب. ثم يمكن تمثيل جيب هذه الزوايا ، على التوالي ، كخطيئة أ وخطيئة ب.
باستخدام المعنى الهندسي للجيب ، يمكن القول أنه بالنسبة لأي زاوية أ ، فإن القسطرة المقابلة لها والوتر سيكون لها دائما نفس العلاقة. لذلك ، الخطيئة أ = الخطيئة ب.
- البيانات الأولية
- تعريف وظيفة الجيب
- إثبات المساواة
- خصائص وظيفة الجيب
- المساواة بين الجيب والقوس
- تحول متطابق
- مثال على تطبيق المساواة
- حساب قيمة الخطيئة (أ)
- سؤال وجواب
- دليل على المساواة في الخطيئة سنويا الخطيئة لأي ل?
- لماذا الخطيئة سنويا الخطيئة لأي ل?
- كيف يمكننا إثبات المساواة في الخطيئة أ إلى الخطيئة أ لأي أ?
- كيف يمكن أن نفسر المساواة بين الخطيئة والخطيئة لأي ل?
البيانات الأولية
يعتمد إثبات المساواة في الخطيئة أ إلى الخطيئة أ لأي أ على البيانات الأولية التالية:
- تعريف الجيوب الأنفية: الخطيئة أ هي نسبة القسطرة المعاكسة إلى الوتر في مثلث قائم الزاوية.
- خصائص القسطرة المعاكسة والوتر: لا تعتمد القسطرة المعاكسة والوتر في المثلث الأيمن على اختيار الزاوية أ ، بل يظلان دون تغيير.
- تعريف المساواة: كائنان متساويان إذا كان لهما نفس القيم أو الخصائص.
بناء على هذه البيانات ، يمكن استنتاج أن الخطيئة أ تساوي الخطيئة أ لأي قيم أ.
تعريف وظيفة الجيب
الجيب هو دالة مثلثية أولية يتم تعريفها لأي وسيطة صالحة وإرجاع قيمة تقع في النطاق من -1 إلى 1.
يمكن التعبير عن تعريف دالة الجيب من خلال تفسير هندسي على دائرة الوحدة. بالنسبة لأي زاوية تقاس بالراديان ، فإن الجيب هو نسبة القسطرة المعاكسة إلى وتر مثلث قائم الزاوية يتكون من نصف قطر وجزء على دائرة.
عادة ما يتم الإشارة إلى دالة الجيب بالرمز الخطيئة أ ، أين أ هي الوسيطة. يمكن التعبير عن قيمة دالة الجيب ككسر عشري أو كسري عشري ، أو ككسر رقمي مختلط.
على سبيل المثال ، قيمة الجيب للوسيطة/ / 2 هي 1 ، وبالنسبة للوسيطة is هي 0.
بشكل عام ، جيب الحجة أ يساوي جيب الحجة المعاكسة (- أ):
| الخطيئة أ | = | الخطيئة (- أ) |
وبالتالي ، من الممكن إثبات المساواة في الخطيئة أ = الخطيئة أ لأي حجج أ ، وهي إحدى خصائص وظيفة الجيب.
إثبات المساواة
النظر في إثبات المساواة في الخطيئة أ يساوي الخطيئة أ لأي أ:
- باستخدام خطيئة الهوية المثلثية (π — أ) = الخطيئة أ ، نحصل على:
- أيضا ، باستخدام دورية وظيفة الخطيئة مع فترة 2π ، نحصل على:
| الخطيئة أ | = | الخطيئة (a-أ) | = | الخطيئة co * كوس — كوس * * الخطيئة | = | 0 * كوس أ - (-1) * الخطيئة أ | = | الخطيئة أ |
| الخطيئة أ | = | الخطيئة (أ + 2π) | = | الخطيئة أ * كوس 2 + + كوس أ * الخطيئة 2 2 | = | الخطيئة أ * 1 + كوس أ * 0 | = | الخطيئة أ |
إذن ، لقد حصلنا على أن الخطيئة أ تساوي الخطيئة أ لأي أ ، باستخدام الهويات المثلثية وتواتر دالة الخطيئة. وهكذا ، فإن المساواة بين الخطيئة أ والخطيئة أ ثبت لأي أ.
خصائص وظيفة الجيب
وظيفة الجيب (الخطيئة) هي واحدة من الدوال المثلثية الرئيسية. يستخدم على نطاق واسع في الرياضيات والفيزياء والعلوم الأخرى لنمذجة الظواهر الدورية.
- دورية: وظيفة الجيب دورية مع فترة 2π. أي ، بالنسبة لأي قيمة للزاوية function للدالة ، فإن الجيب يساوي قيمة الزاوية + + 2..
- القيود: تقتصر وظيفة الجيب على القيم من -1 إلى 1. وهذا هو ، لأي قيمة للزاوية α ، -1 sin الخطيئة ()) 1 1.
- التناظر: دالة الجيب هي دالة غريبة ، أي الخطيئة(-α) = -الخطيئة ()). هذا يعني أن قيمة الجيب للزاوية السالبة ستكون مساوية لقيمة الجيب السالبة للزاوية الموجبة بنفس قيمة النموذج.
- الاتصال بجيب التمام: ترتبط وظائف الجيب وجيب التمام بالمساواة التالية: الخطيئة(sin) = كوس(α — / / 2). هذا يعني أن قيمة جيب الزاوية تساوي قيمة جيب التمام للزاوية التي تم إزاحتها بالزاوية/ / 2 إلى اليسار.
ويترتب على هذه الخصائص أن الخطيئة ( + ) = الخطيئة (++2 ن) لأي عدد صحيح ن ، لأن إضافة 2π إلى الزاوية لا يغير قيمة الجيب. أيضا ، تحتوي دالة الجيب على عدد لا نهائي من نقاط التقاطع مع محور الإحداثي السيني ، لأن الخطيئة(0) = 0 والخطيئة (π) = 0.
| زاوية (بالراديان) | الخطيئة (زاوية) |
|---|---|
| 0 | 0 |
| π/6 | 1/2 |
| π/4 | √2/2 |
| π/3 | √3/2 |
| π/2 | 1 |
للدالة الجيبية العديد من التطبيقات ، بدءا من حل المعادلات المثلثية وإيجاد الزوايا ، إلى نمذجة الظواهر التذبذبية في الفيزياء والهندسة. تساعد معرفة خصائص الوظيفة الجيبية على فهم سلوكها واستخدامها بفعالية في المهام المختلفة.
المساواة بين الجيب والقوس
لأي زاوية أ ، المساواة صالحة:
الخطيئة (أركسين (أ)) = أ
وهذا هو ، جيب قوس الزاوية يساوي الزاوية نفسها. هذه المساواة هي واحدة من الخصائص الرئيسية للوظائف المثلثية وغالبا ما تستخدم في حل المشاكل المختلفة.
يمكن تمثيل جيب قوس الزاوية بيانيا. دعونا نبني زاوية أ على مستوى الإحداثيات بحيث يكون جيب الزاوية أ مساويا لـ أ. ثم يكون إسقاط النقطة على المحور الإحداثي مساويا لـ.
إذا أخذنا هذه القيمة أ وقمنا بتطبيق دالة القوس عليها ، نحصل على زاوية جيبها أ. أي أننا سنحصل على الزاوية الأولية أ. وهكذا ، الخطيئة(أركسين(أ)) = أ.
يمكن إثبات هذه المساواة تحليليا باستخدام تعريف القوس وصيغة الجيب للحجة المزدوجة:
- دع الزاوية في المثلث القائم الزاوية تكون أ ، حيث 0 a أ / / 2.
- ثم ، بحكم تعريف الجيب ، سيكون لدينا أ = الخطيئة (أركسين(أ)) ، أين أركسين (أ) هي الزاوية التي يكون جيبها أ.
- لنستبدل تعبير أركسين في هذه الصيغة: أ = خطيئة (أركسين(أ)) = خطيئة (أ).
- بما أن جيب الزاوية أ يساوي أ ، نحصل على أ = أ.
وهكذا ، أثبتنا المساواة في الخطيئة (أركسين (أ)) = أ لأي زاوية أ. يمكن أيضا تعميم هذه المساواة على القيم السلبية لـ أ ، ومع ذلك ، مع مراعاة القيود المفروضة على مجال تعريف الوظائف.
تحول متطابق
يعتمد إثبات المساواة في الخطيئة أ = الخطيئة أ لأي أ على تطبيق تحويل الهوية. تحويل الهوية هو تحول رياضي يسمح لك بإحضار تعبير إلى شكل أكثر ملاءمة دون تغيير معناه.
واحدة من أشهر تحولات الهوية هي هوية الجيب:
الخطيئة أ = الخطيئة أ
تنص هذه الهوية على أن قيمة جيب الزاوية أ تساوي قيمة جيب الزاوية نفسها أ. للوهلة الأولى ، قد يبدو هذا بيانا تافها ، ولكنه في الواقع مهم في نظرية علم المثلثات والتحليل الرياضي.
استخدام هذه الهوية يجعل من الممكن تبسيط التعبيرات التي تحتوي على الجيوب. على سبيل المثال ، إذا كان لدينا التعبير خطيئة (س + ص) ، ثم يمكننا استخدام هوية الجيب:
الخطيئة (س + ص) = س الخطيئة * كوس ذ + كوس س * الخطيئة ذ
يتم الحصول على هذا التعبير من خلال تطبيق صيغة الإضافة للجيب وهوية الجيب.
وبالتالي ، فإن هوية الجيب هي أداة مهمة عند العمل مع الدوال المثلثية وإثبات المساواة.
مثال على تطبيق المساواة
لنفترض أننا بحاجة إلى إثبات المساواة في الخطيئة أ إلى الخطيئة أ لأي أ. للقيام بذلك ، سوف نستخدم تحلل دالة الجيب في سلسلة تايلور والمساواة التي أثبتت لنا:
الخطيئة س = س س^3/3! + س^5/5! - س^7/7! + …
باستخدام التحلل المقدم لوظيفة الجيب ، يمكننا النظر في الحالة عندما أ = س:
الخطيئة أ = أ-أ^3/3! + أ^5/5! - أ^7/7! + …
لاحظ الآن أنه يمكن كتابة هذه المساواة على النحو التالي:
الخطيئة أ = أ-أ^3/3! + أ^5/5! - أ^7/7! + = = الخطيئة أ
وهكذا ، أثبتنا أن الخطيئة أ تساوي الخطيئة أ لأي قيمة أ. هذه الخاصية مهمة في الرياضيات وتستخدم في حل المشكلات والمعادلات المختلفة.
حساب قيمة الخطيئة (أ)
لحساب قيمة الجيب أ ، يمكن استخدام طرق مختلفة ، والتي ستعتمد على الأدوات المتاحة والدقة المطلوبة للنتيجة.
1. جداول القيم
أبسط طريقة هي استخدام جدول قيم الجيب. في هذه الحالة ، يمكنك تحديد قيمة لزاوية معينة
ألف 2 من الجدول. صف تايلور
يمكنك أيضا استخدام تحلل الجيب في سلسلة تايلور:
الخطيئة (أ) = أ - (أ 3 / 3!) + (أ 5 / 5!)- (أ 7 / 7!) + …
كلما تم أخذ المزيد من أعضاء السلسلة في الاعتبار في الحساب ، كانت النتيجة أكثر دقة.
3. الدوال الرياضية
الجيب هو وظيفة رياضية قياسية في معظم لغات البرمجة. يمكن استدعاؤه باستخدام الطريقة أو الوظيفة المناسبة. على سبيل المثال ، في بيثون ، يمكنك استخدام وظيفة الخطيئة() من مكتبة الرياضيات.
4. الآلات الحاسبة والأدوات عبر الإنترنت
هناك العديد من الآلات الحاسبة والأدوات عبر الإنترنت التي تسمح لك بحساب قيمة الجيب. يقدم بعضها أيضا خيارات حسابية مع معلمات إضافية لتحسين دقة النتيجة.
اعتمادا على المهمة المحددة ومتطلبات الدقة ، يمكنك اختيار أنسب هذه الطرق لحساب قيمة الجيب أ.
سؤال وجواب
دليل على المساواة في الخطيئة أ إلى الخطيئة أ لأي أ?
لإثبات المساواة في الخطيئة أ إلى الخطيئة أ لأي أ ، يمكننا استخدام تعريف الجيب وخاصية دورية دالة الجيب. يقول تعريف الجيب أن الخطيئة أ هي نسبة الضلع المقابل للمثلث إلى الوتر. ومن المعروف أيضا أن وظيفة الجيب دورية مع فترة 2π. بناء على هاتين الخاصيتين ، يمكن استنتاج أن الخطيئة أ والخطيئة أ متساويان لأي زاوية أ. أي الخطيئة أ = الخطيئة (أ + 2 كيلو نيوتن) ، أين ك هو عدد صحيح. هذا يثبت أن الخطيئة أ والخطيئة أ متساويان لجميع قيم الزاوية أ.
لماذا الخطيئة سنويا الخطيئة لأي ل?
جيب الدالة هو نسبة الضلع المقابل للمثلث القائم الزاوية إلى الوتر. لا تعتمد النسبة على حجم الزاوية ، ولكن يتم تحديدها فقط من خلال نسبة جوانب المثلث. نظرا لأن الخصائص الهندسية للمثلثات لا تتغير عند تدويرها بزاوية 2π ، فإنها تحتفظ بعلاقاتها في حالة وظيفة الخطيئة. وهكذا ، فإن الخطيئة أ والخطيئة أ متساوية لأي زاوية أ.
كيف يمكننا إثبات المساواة في الخطيئة أ إلى الخطيئة أ لأي أ?
يمكن تنفيذ إثبات المساواة بين الخطيئة أ والخطيئة أ لأي أ باستخدام نظرية دورية دالة الجيب. وفقا لهذه النظرية ، فإن قيمة جيب الزاوية أ تساوي قيمة جيب الزاوية (أ + 2π) ، أي الخطيئة أ = الخطيئة (أ + 2π). وهكذا ، فإن الخطيئة أ والخطيئة أ متساويان لجميع الزوايا أ و (أ + 2π). نظرا لأن الزاوية أ و (أ + 2 2) زوايا متكافئة ، فإن الخطيئة أ والخطيئة أ متساويان لأي زاوية أ.
كيف يمكن أن نفسر المساواة بين الخطيئة والخطيئة لأي ل?
يمكن تفسير المساواة بين الخطيئة أ والخطيئة أ لأي أ باستخدام خاصية الدورية لوظيفة الجيب وتعريفها. وفقا للتعريف ، الخطيئة أ هي نسبة الجانب الآخر من المثلث إلى الوتر. لا يعتمد هذا التعريف على حجم الزاوية أ ، ولكن يتم تحديده فقط من خلال نسبة أطوال أضلاع المثلث. من ناحية أخرى ، فإن وظيفة الجيب دورية مع فترة 2π. ويترتب على ذلك أن قيم الخطيئة أ والخطيئة أ ستكون هي نفسها لأي قيم للزاوية أ. أي الخطيئة أ = الخطيئة (أ + 2 كيلو نيوتن) ، أين ك هو عدد صحيح. وهكذا ، فإن المساواة بين الخطيئة أ والخطيئة أ لأي أ يتم تفسيرها من خلال دورية وظيفة الجيب وتعريفها.