عدد جذور المعادلة: كيفية تحديد

المعادلات هي أحد المكونات الرئيسية للرياضيات. إنها تساعدنا على تخيل أنماط وعلاقات مختلفة بين الكميات. ومع ذلك ، لا تحتوي المعادلات دائما على حل واحد ، وأحيانا يكون لها أكثر من جذر واحد. كيف يمكنني تحديد عدد من جذور المعادلة?

إذا تحدثنا عن المعادلات بشكل عام ، فيمكن أن يكون لها عدد مختلف من الجذور: يمكن أن يكون لبعض المعادلات حل واحد فقط ، والبعض الآخر — اثنان ، والبعض الآخر — حتى عدد لا حصر له من الجذور. يعتمد تحديد عدد جذور المعادلة على طرق وخوارزميات مختلفة طورها علماء الرياضيات على مر السنين.

واحدة من أبسط الطرق لتحديد عدد جذور المعادلة هي استخدام تفسير رسومي. جوهر هذه الطريقة هو رسم الوظيفة المعطاة بواسطة المعادلة. بعد ذلك ، من الضروري تحليل موضع الرسم البياني بالنسبة لمحور الإحداثي السيني وتحديد عدد المرات التي يعبر فيها الرسم البياني هذا المحور. يشير عدد التقاطعات إلى عدد جذور المعادلة.

1. طريقة التمييز لتحديد عدد جذور المعادلة
2. باستخدام الصيغة لتحديد التمييز
3. إذا كان التمييز أكبر من الصفر
4. إذا كان التمييز هو صفر
5. إذا كان التمييز أقل من الصفر
6. سؤال وجواب
7. كيف يمكنني تحديد عدد من جذور المعادلة?
8. ما هو التمييز في المعادلة?
9. ما هي قيم التمييز تشير إلى عدد من جذور المعادلة?
10. هل يمكن للمعادلة أن يكون لها أكثر من جذرين?
11. كيفية تحديد عدد الجذور الحقيقية للمعادلة?

طريقة التمييز لتحديد عدد جذور المعادلة

عند حل معادلة تربيعية ، يمكن استخدام طريقة التمييز لتحديد عدد جذورها. يتم حساب المميز باستخدام الصيغة:

أين أ, ب و ج هي معاملات المعادلة فأس^2 + ب + ج = 0.

قيمة التمييز يسمح لك لتحديد عدد من جذور المعادلة:

• إذا د > 0 ، فإن المعادلة لها جذران حقيقيان مختلفان.
• إذا د = 0 ، فإن المعادلة لها جذر حقيقي واحد.
• إذا د < 0 ، فإن المعادلة ليس لها جذور حقيقية ، ولكن يمكن أن يكون لها جذران معقدان.

في الحالة التي يكون فيها التمييز موجبا ، يمكن حساب جذور المعادلة باستخدام الصيغ:

في الحالة التي يكون فيها التمييز صفرا ، يمكن حساب جذر المعادلة باستخدام الصيغة:

مع التمييز السلبي ، ليس للمعادلة جذور حقيقية ، ولكن يمكن التعبير عن جذورها المعقدة على النحو التالي:

أين أنا هي الوحدة التخيلية و / د / هو معامل التمييز.

باستخدام الصيغة لتحديد التمييز

لتحديد عدد جذور المعادلة ، هناك صيغة خاصة تسمى التمييز. يسمح لك التمييز بمعرفة عدد الحلول التي تحتوي عليها المعادلة التربيعية.

يتم حساب المميز باستخدام الصيغة التالية:

أين:

• أ ، ب ، ج هي معاملات المعادلة التربيعية

بعد حساب التمييز ، يمكنك تحديد عدد الجذور:

• إذا كان التمييز أكبر من الصفر (د > 0) ، فإن المعادلة لها جذران مختلفان;
• إذا كان المميز صفرا (د = 0) ، فإن المعادلة لها جذر واحد;
• إذا كان التمييز أقل من الصفر (د < 0) ، فإن المعادلة ليس لها جذور حقيقية.

إذا كان التمييز أكبر من الصفر

عند حل معادلة تربيعية من الدرجة الثانية ، من الضروري حساب التمييز ، الذي تحدده الصيغة:

د = ب 2-4 أ,

أين أ, ب و ج هي معاملات المعادلة:

• أ هو مربع معامل المتغير;
• ب هو معامل لمتغير;
• ج هو مصطلح مجاني.

إذا كان التمييز أكبر من الصفر ، فهذا يعني أن المعادلة لها جذران حقيقيان مختلفان. للعثور عليهم ، يمكنك استخدام الصيغة:

س1 = (- ب + D د) / 2 أ,

س2 = (—ب-D د) / 2 أ,

أين D د هو الجذر التربيعي للتمييز.

إذا كان التمييز هو صفر

المميز هو رقم يتم تحديده بواسطة الصيغة د = ب^2-4 أ ، أين أ, ب و ج هي معاملات المعادلة التربيعية. إذا كان التمييز صفرا ، فهذا يعني أن المعادلة لها جذر واحد.

وهذا هو ، إذا د = 0 ، فإن جذر المعادلة سيكون رقما يمكن العثور عليه بواسطة الصيغة س = -ب/2 أ.

باستبدال قيمة المميز في صيغة إيجاد الجذر ، يمكنك الحصول على القيمة الدقيقة لجذر المعادلة التربيعية.

على سبيل المثال ، بالنسبة للمعادلة التربيعية س^2-6 س + 9 = 0 ، يمكننا إيجاد المميز: د = (-6)^2 — 4*1*9 = 36 — 36 = 0. بما أن المميز هو صفر ، فإن المعادلة لها جذر واحد. باستبدال قيم المعاملات في الصيغة لإيجاد الجذر ، نحصل على: س = -(-6)/2*1 = 6/2 = 3. وهكذا ، فإن المعادلة س^2-6 س + 9 = 0 له جذر واحد س = 3.

عندما يكون المميز صفرا ، فإن المعادلة عبارة عن مربع ثلاثي الحدود يكون فيه المميز مربعا كاملا. هذا يعني أنك بحاجة إلى البحث عن رقم ، مربع ، سيعطي قيمة التمييز.

بوجود قيمة مميزة تساوي صفرا ، يمكننا أن نستنتج أن المعادلة التربيعية سيكون لها جذر واحد ، والذي يمكن تحديده بدقة أكبر باستخدام الصيغة س = -ب/2 أ.

إذا كان التمييز أقل من الصفر

إذا كان التمييز أقل من الصفر ، فإن المعادلة ليس لها جذور حقيقية.

هذا يعني أنه على المحور العددي ، لا يتقاطع الرسم البياني للدالة المعطاة بواسطة المعادلة مع محور الإحداثي السيني.

تسمى هذه المعادلة معادلة ذات جذور معقدة. يتم تمثيل الأعداد المركبة بشكل عام على أنها أ + ثنائية ، حيث أ و ب هي أرقام حقيقية و أنا هي وحدة خيالية.

لحل معادلة ذات جذور معقدة ، يلزم استخدام الجبر المعقد.

يمكن الحصول على الجذور الحقيقية لمعادلة ذات تمييز أقل من الصفر إذا اعتبرناها في مجال معقد ، ولكن في سياق هذه المقالة ، يتجاوز النظر في مثل هذه الحالات نطاقها.

سؤال وجواب

كيف يمكنني تحديد عدد من جذور المعادلة?

لتحديد عدد جذور المعادلة ، من الضروري تحليل تمييزها. إذا كان التمييز موجبا ، فإن المعادلة لها جذران مختلفان. إذا كان التمييز صفرا ، فإن المعادلة لها جذر واحد (وهو حقيقي ويحدث مرتين). إذا كان التمييز سالبا ، فإن المعادلة لها جذران معقدان (وهما أرقام خيالية).

ما هو التمييز في المعادلة?

التمييز في المعادلة هو تعبير يتم حسابه باستخدام صيغة ويسمح لك بتحديد طبيعة جذور المعادلة. بالنسبة للمعادلة التربيعية للنموذج فأس^2 + ب + ج = 0 ، يتم حساب المميز على أنه د = ب^2-4 أ.

ما هي قيم التمييز تشير إلى عدد من جذور المعادلة?

تشير قيمة التمييز إلى عدد جذور المعادلة. إذا كان المميز موجبا (د > 0) ، فإن المعادلة لها جذران حقيقيان مختلفان. إذا كان التمييز هو صفر (د = 0) ، فإن المعادلة لها جذر حقيقي واحد يحدث مرتين. إذا كان التمييز سالبا (د < 0) ، فإن المعادلة لها جذران معقدان ، وهما أرقام خيالية.

هل يمكن للمعادلة أن يكون لها أكثر من جذرين?

نعم ، يمكن أن يكون للمعادلة أكثر من جذرين. يعتمد عدد جذور المعادلة على درجتها وخصائص المعاملات. على سبيل المثال ، قد يكون للمعادلة التكعيبية (من فأس النموذج^3 + بكس^2 + س + د = 0) ثلاثة جذور ، وقد يكون عددها أقل أو أكثر من ثلاثة ، اعتمادا على قيم المعاملات.

كيفية تحديد عدد الجذور الحقيقية للمعادلة?

لتحديد عدد الجذور الحقيقية للمعادلة ، من الضروري حساب المميز. إذا كان المميز موجبا (د > 0) ، فإن المعادلة لها جذران حقيقيان مختلفان. إذا كان التمييز هو صفر (د = 0) ، فإن المعادلة لها جذر حقيقي واحد يحدث مرتين. إذا كان التمييز سالبا (د < 0) ، فإن المعادلة ليس لها جذور حقيقية.